couim
Bonsoir à tous,
Alors comme nous sommes une communauté de ubuntu users, je décide aujourd'hui de poser un petit problème de maths dans le cadre de mes études en informatique ! En espérant que l'entre aide ne se fait pas que sur logiciel mais aussi en IRL 😃 😉
Alors voilà l’exercice :
Déterminer les couples d'entiers naturels (a,b) vérifiant a+b = 171 et PPCM(a,b) = 1716
J'ai plusieurs pistes de départ notamment avec les propriétés suivantes :
Notons d = PGCD(a,b) avec a et b, on sait qu'il existe x et y, entiers premiers entre eux tel que a = dx et b = dy
Ainsi,
a + b = 171
donc
dx + dy = 171
puis
d(x+y) = 171
DONC on conclu que d peut diviser 171 et aussi le PPCM je présume...
C'est donc là que je bloque, si jamais quelqu'un à la solution, ou alors une simple piste, je le remercie d'avance !
couim
Bonsoir à tous,
Alors comme nous sommes une communauté de ubuntu users, je décide aujourd'hui de poser un petit problème de maths dans le cadre de mes études en informatique ! En espérant que l'entre aide ne se fait pas que sur logiciel mais aussi en IRL 😃 😉
Alors voilà l’exercice :
Déterminer les couples d'entiers naturels (a,b) vérifiant a+b = 171 et PPCM(a,b) = 1716
J'ai plusieurs pistes de départ notamment avec les propriétés suivantes :
Notons d = PGCD(a,b) avec a et b, on sait qu'il existe x et y, entiers premiers entre eux tel que a = dx et b = dy
Ainsi,
a + b = 171
donc
dx + dy = 171
puis
d(x+y) = 171
DONC on conclu que d peut diviser 171 et aussi le PPCM je présume...
C'est donc là que je bloque, si jamais quelqu'un à la solution, ou alors une simple piste, je le remercie d'avance !
sucarno
tu peux ajouter :
PPCM(a,b)*PGCD(a,b)=a*b.
couim
alors effectivement on connaît le PPCM donc on peut poser :
PPCM(a,b)*PGCD(a,b) = a*b
1716*PGCD(a,b) = a*b
Et en autre écriture avec PGCD(a,b) = d :
1716 = (a*b)/d
Mais donc j'arrive toujours pas à effectuer un lien entre ceci et le calcul du PGCD ? On a tout ce dont on a besoins si l'on veut le PGCD ? ou a*b ?
merci en tout cas de la réponse.
melixgaro
salut,
merci pour le problème, ça me rajeunit !
je crois que dans ce genre d'exercice, il n'y a pas mille façons de s'en sortir : au bout d'un moment, il faut faire une étude de cas.
Ci-dessous une solution partielle...
Soient a et be tels que a+b = 171 (I) et PPCM(a, b) = 1716 (II).
On note d = PGCD(a, b).
Il existe x et y, entiers premiers entre eux tels que a = dx (III) et b = dy (IV).
En injectant (III) et (IV) dans (I), on a :
d(x+y)=171
Or 171 = 3 * 3 * 19.
Donc on a les cas suivants :
d = 3 ; x + y = 57
d = 9 ; x + y = 19
d = 19 ; x + y = 9
d = 57 ; x + y = 3
Par ailleurs, PGCD(a, b) * PPCM(a, b) = a * b. D'où en utilisant les équations (I) à (IV) :
d * 1716 = d^2 * xy, soit dxy = 1716.
Or 1716 = 2 * 2 * 3 * 11 * 13. D'où la seule valeur possible pour d est 3.
Donc x + y = 57 et xy = 572.
Ces deux équations permettent d'écrire une équation du 2nd degré en x ou en y. Et la résolution permet de trouver les couples (x, y) solutions. On en déduit les couples (a, b) solutions. Je trouve (a, b) = (132, 39) ou (a, b) = (39, 132).
couim
Bonjour melixgaro!
Merci pour votre réponse j'essaie tout à l'heure! Mais effectivement l'idée d'utiliser des nombres premiers pour décomposer un chiffre me paraît être la solution attendue pour l'exercice!
Merci 🙂 à plus tard
couim
Alors j'ai essayé et cela fonctionne, je comprend parfaitement le raisonnement
On voit que le pgcd (a,b) divise 1716 et aussi 171.
a partir de ça, on détermine d (le pgcd)
on trouve 3.
Seulement je comprends pas le d^2 qui est mis, dans l'équation ?
couim
Auto-critique : c'est bon j'ai compris pour le d² en fait c'est comme dire
pgcd*ppcm = ab
donc
pgcd*ppcm = dx * dy = d²xy !
Merci en tout cas pour votre réponse ! ça fait plaisir 🙂
melixgaro
oki !
c'est surtout moi qui me suis fait plaisir hier soir en refaisant de l'algèbre (si, si) ! 😃 😃
donc merci à toi !
melixgaro
désolé, je viens de voir que tu me vouvoies alors que je te tutoies. n'y vois pas de l'impolitesse, il m'est presque impossible de vouvoyer sur le net. n'hésite pas à me tutoyer également 😉
couim
Bonjour à tous !
Alors je me place dans le café pour poser cette question de maths (oui étude en informatique oblige)
Alors j'avais un énoncé et je voulais savoir si j'avais juste en gros 🙂
Exo :
soit a = 1512 et b = 540
1)Déterminer PPCM de de a et b
2)Déterminer les multiples positifs communs à a et b inférieurs ou égaux à 40 000
donc pour la 1) j'ai fait la décomposition en nombre premiers avec donc
1512 = 2*2*2*7*27
540 = 2*2*3*3*3*5
PGCD (a,b) = 2*2 = 4; PPCM(a,b)=4(5*27*7*2) = 7560
----------------------
2)
là en gros d'après ce que je peux dire c'est que on sait que
PGCD (ka,kb) = kPGCD(a,b)
donc je me suis dit que ce serait pareil avec le PPCM vu que le PGCD divise le PPCM.
Donc j'ai posé :
kPPCM(a,b) < 40 000
et en cherchant k, au minimum il doit faire 5 car sinon 6*PGCD(a,b) > 40000
Donc en gros je voulais savoir si la réponse à la 2) c'était bien 5 ou si j'avais oublié un petit truc 🙂 merci d'avance !
ssdg
En fait, je m’aperçoit que ma première démonstration était très brouillon... Aussi, je supprime.
d= PGCD (A,B)
A+B= d(x+y)
PPCM(A,B)=d*x*y (
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/arithmetique/arithmetique_ch03/co/apprendre_ch3_05.html )
A+B=1*3*3*19
PPCM(A,B)=1*2*2*3*11*13
Les nombres qui peuvent diviser les deux sont 1 et 3 (en vrai: 1, 3 et 1*3)
Je ne suis pas sur de pourquoi, mais j'imagine qu'on peut en déduire que d=3 (imaginons que les maths se plient à ma conviction infondée)
Ensuite, on obtient à partir de l'équation ppcm=dxy et de l'autre équation d(x+y)=171 on obtient deux équations à deux inconnues. On peut les résoudre en faisant rentrer une identité remarquable, une racine (ne pas oublier que racine de quelque chose qui vaut x² peut être x et -x ) et on obtient des résultats. (que j'ai calculés et vérifiés)
Ce que je ne m'explique pas c'est pourquoi je suis convaincu qu'il est logique que d=3
Je ne m'explique pas non plus pourquoi on couvre/couvrirait tout les cas avec cette méthode.
couim
Bonjour!
Merci pour votre réponse
J'ai finalement trouvé le résultat hier et c'est bien comme cela qu'il faut faire
Merci en tout cas de m'avoir aidé
A bientôt 🙂
Nasman
1512=2*2*2*3*3*3*7 (27 est le cube de 3)
540=2*2*3*3*3*5
PGCD = 2*2*3*3*3= 108
Clémentv
et en cherchant k, au maximum il doit faire 5 car sinon 6*PPCM(a,b) > 40000
Quelques petites erreurs sur cette ligne, mais tu as bien compris l'idée : les multiples communs sont les multiples du PPCM.
couim
Bonjour,
Effectivement le pgcd vaut 108... autant pour moi.
Oui clementv 🙂 effectivement je vais essayer de trouver tous les multiples communs puisque c'est ça la question. Merci pour ton indication
Je vous tiens au courant!
ssdg
Et du coup, pour le fait que d= PGCD et pas juste n'importe quel commun diviseur (1 par exemple)
Au delà du fait que ça devient plus compliqué, qu'est-ce qui prouve qu'il ne peut pas y avoir d'autres valeurs? ( une formule, un théorème un truc du genre?)
couim
C'est bon j'ai fini
en gros les multiples communs sont
7560
7560*2
7560*3
7560*4
7560*5
merci à vous !
couim
Bonjour à tous!
Nouvelle question de maths (oui, j'en pose souvent)
je suis confronté à un petit exercice ou il faut prouver que (11n+3) et (7n+2) sont premiers entre eux
ce qui implique plusieurs choses :
Premierement
Cela traduit que PGCD (u,v) = 1
ou/et bien que u*v = ppcm(u,v) //oui car on sait que u*v=ppcm*pgcd
Ensuite, je sais que en multipliant u et v on obtient
77n² + 43n + 6 = ppcm
et que 77 peut s'écrire 11*7 en nombre premier.
A part cela, je n'arrive toujours pas à prouver que le PGCD = 1
Vous avez des solutions ? Si oui je vous dit merci ! 🙂
Shanx
Modération : nous avons fusionné tes différents sujets. Si tu as encore besoin d’aide, nous t’invitons à continuer dans cette discussion (pas la peine de les multiplier). Tu peux aussi modifier ton premier message si tu souhaites changer le titre.
Question sans rapport avec la modération : c’est quoi l’intérêt de demander de l’aide pour tous tes exercices ? Le but n’est pas de les faire soi-même ?
