Ton compte mail dans Thunderbird est probablement configuré en IMAP, du coup il ne fait que
montrer ce qu'il y a dans le webmail.
Peut-être qu'une configuration en POP serait mieux adaptée à ton usage.
Cela dit, même en IMAP il y a moyen de sauvegarder localement les messages →
https://support.mozilla.org/fr/kb/le-protocole-imap voir synchronisation.