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Divisibilité de x^(p-1) par p, p étant premier >2 et x#kp ?

Arbiel

Bonjour

Il paraîtrait que x^(p-1) soit toujours multiple de p si p est un nombre premier supérieur à 2 et si x n'est pas un multiple de p.

Je n'ai pas réussi à prouver cette proposition. J'ai trouvé quelques résultats en utilisant la congruence des x^n avec p, de même qu'en exprimant p en base x, mais ces résultats ne sont pas suffisants.

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Pour ceux qui voudraient essayer de mettre cette proposition en défaut, j'ai écrit un fichier calc disponible ici.. Chaque ligne du fichier calcule la congruence de x^n avec p. Pour aller au delà de 2017 (nombre premier), il faut répéter les lignes vers le bas.

p est en A2, x en B2. Le reste de la division de x^(2p-1) se trouve en E2.

Arbiel

cqfd93

Bonjour,

Si je prends x=2 et p=3 (ça répond bien aux conditions ?), ça donne :
x^(p-1) = 2^(3-1) = 2^2 = 4 et 4 n'est pas divisible par 3.

Dans ton fichier, le seul nombre premier que tu utilises est 1001, or 1001 = 11 x 91.

edge_one

j'invoque le rouge.

Arbiel

Bonsoir

Merci pour ces remarques.

Effectivement, je me suis trompé. Il s'agit de

x^(p-1)-1

Pour ce qui est du fichier, il est correct. Le fait que le nombre de la case A2 n'est pas un nombre premier provient du fait que j'ai voulu vérifier que la divisibilité de x^(p-1)-1 par p ne se vérifie que pour les nombres premiers. J'ai probablement fermé mon fichier en acceptant la modification (j'ai créé ce fichier il y a quelque temps déjà, et je n'ai ouvert la présente discussion que parce que je ne parviens pas à démontrer la proposition - dont je ne sais d'ailleurs pas si elle est vraie ou non -).

J'ai mis le fichier à jour, en mettant 2017 à la place de 1001.

Arbiel

cqfd93

Bon, j'ai fouiné un peu… et j'ai trouvé ce que tu cherches : le Petit théorème de Fermat 🙂

Quand p est premier, Z/pZ(+,x) est un corps et pour tout x appartenant au groupe multiplicatif (qui est cyclique), x^p est égal à x.

Arbiel

Merci beaucoup

J'y cours

Arbiel

tuxmarc

Bonsoir !
J'ai vu le sujet, j'ai vu de la lumière, moi qui ai été largué pour de bon par le maths en ......... 1963 ? 1964 ? cette discussion me parait vénusienne 🙂
Et bien, sachez que j'admire votre cerveau qui est capable de tourner sans couler une bielle 😃
Chez moi, de ce côté là, c'est fait :lol: .... mais pas pour tout fort heureusement 😛

et que vois je ???

cqfd93 a écrit
Bon, j'ai fouiné un peu… et j'ai trouvé ce que tu cherches : le Petit théorème de Fermat 🙂

Quand p est premier, Z/pZ(+,x) est un corps et pour tout x appartenant au groupe multiplicatif (qui est cyclique), x^p est égal à x.

Fouiné un peu ?
Là, Sylvie, tu m'épates 😃
Mais, tu es forte en tout, à commencer pas la gentillesse 😉

Passez de bonne fêtes !

cqfd93

Bonsoir,

tuxmarc a écritEt bien, sachez que j'admire votre cerveau qui est capable de tourner sans couler une bielle 😃
Chez moi, de ce côté là, c'est fait :lol: .... mais pas pour tout fort heureusement 😛

Au fil des années, mon cerveau s'est passablement ramolli, mes certificats d'algèbre et théorie des nombres datent quand même de la fin des années 70… Ne faisant plus de maths depuis des décennies, j'ai beaucoup perdu !

Fouiné un peu ?
Là, Sylvie, tu m'épates 😃
Mais, tu es forte en tout, à commencer pas la gentillesse 😉

Merci 🙂

Passez de bonne fêtes !

Bonnes fêtes à toi aussi !

tuxmarc

Bonjour !

cqfd93 a écritAu fil des années, mon cerveau s'est passablement ramolli, mes certificats d'algèbre et théorie des nombres datent quand même de la fin des années 70… Ne faisant plus de maths depuis des décennies, j'ai beaucoup perdu !

C'est ça, c'est comme le piano, il faut faire des gammes.
Les gammes, j'en fais en arithmétique en persistant à utiliser le crayon et le papier 🙂
Au delà, je suis largué et j'admire toujours ceux qui maîtrisent !
Moi mes gammes, c'est de zoner sur les forums linuxiens, allemands, espagnols, italiens pour éviter les "fuites" dans le cerveau.

cqfd93

Bonjour,

Le plus important est de conserver une activité intellectuelle, quelle qu'elle soit. Même si on est incapable de faire ce qu'on faisait à 20 ou 30 ans, on fait d'autres choses dont on aurait été incapable par manque d'expérience.

tuxmarc

Tout à fait d'accord 🙂
Un de mes sports cérébraux, c'est de découvrir les tréfonds du super système qui est le notre !
Je me couche souvent moins bête que je me suis levé 😉

cqfd93

Et en aidant les autres, on apprend énormément de choses.

tuxmarc

Je plussoie !

Des fois, je me suis lancé dans un sujet en lisant un appel pathétique, puis je me suis dit : "t'aurais jamais dû te lancer là dedans, t'y connait pas assez"
Et puis, la doc que les nouveaux ont du mal à découvrir, et dans la doc, il y a tout.
Résultat, j'ai dépatouillé quelqu'un, des fois on devient potes, et j'ai appris 🙂

On est déjà demain, au dodo !