Pour l'icône, il faudrait vérifier s'il n'y en a pas une dans les fichiers de ton TB local. Ou en télécharger une. Ensuite, modifier les lignes Icon dans le lanceur pour mettre le chemin vers elle.
Il y a encore un détail à régler si possible, à savoir pouvoir passer des paramètres à TB pour qu'il puisse par exemple ouvrir un lien mailto:, ou que ses options d'origine soient valables, mais je ne suis pas sûr de la façon dont ça peut être fait. Essaie de modifier le fichier thunderbird qu'on a créé dans le dossier ~/.local/bin et de modifier la troisième ligne comme ça :
./thunderbird "$@"
Il faudrait faire des tests pour vérifier que ça fonctionne.