Tu peux éventuellement essayer un pilote plus récent mais ça devrait fonctionner avec le 390. Pour Vulkan, c'est bon, libvulkan1 est installé. Donc, tout a l'air ok, c'est bizarre que les jeux ne se lancent pas. Tu peux éventuellement essayer d'autres versions de Proton dans les paramètres d'un jeu, comme suggéré par eric63.
Autre chose à tester : affiche les propriétés d'un jeu (par exemple NieR:Automata, il est noté Platine sur ProtonDB), clique sur "Définir les options de lancement" et mets ce qui suit :
PROTON_LOG=1 %command%
Ensuite, lance le jeu. Il ne devrait pas mieux démarrer mais ça va créer un log dans ton dossier perso nommé steam-524220.log (524220 étant l'identifiant de NieR, le nom sera différent pour un autre jeu). Poste son contenu, de préférence sur pastebin et mets un lien ici.
EDIT : au fait, tes jeux sont bien installés sur une partition Linux (EXT4 ou autre) et pas Windows (NTFS ou FAT) ?