Hello,
J'avais parlé du théorème de Frobenius Zolotarev (la version générale sur wikipédia) parce que c'est l'un des développements que je prépare pour l'agrégation de maths (je fais des études de mathématiques, et donc le but est d'expliquer les énoncés 🙂 ) et que je bloquais déjà sur l'énoncé du théorème à ce moment là.
Effectivement moko138 sans la définition de symbole de Legendre, de signature d'une permutation (ici l'endomorphisme est vu comme une permutation d'éléments, c'est notamment là dessus que je bloquais) et de déterminant d'un endomorphisme, on peut difficilement comprendre le théorème.
En gros, ce théorème donne un lien entre la signature, le déterminant et le symbole de Legendre (qui je trouve est un résultat assez joli puisque sans le théorème, le lien ne saute pas aux yeux). C'est un résultat assez compliqué et théorique donc difficile à expliquer, je vois pas trop comment je pourrais l'expliquer de manière simple.
Une permutation, c'est simplement les différents mélanges d'un ensemble d'éléments (en général 1, ..., n). Par exemple, s'il y a trois éléments, on peut envoyer 1 sur 3, 2 sur 2, et 3 sur 1, c'est une permutation. C'est une notion qui est utilisée pour décrire
le Rubik's Cube (la théorie derrière le Rubik's Cube utilise aussi des produits semi directs)
Ils se compliquent la vie sur wikipedia pour définir le symbole de Legendre: (a/p) vaut 1 si a est un carré dans le corps Fp (c'est à dire il existe y dans Fp tel que y^2=a dans Fp) et -1 sinon. Et Fp, c'est un ensemble ayant p éléments qu'on peut représenter par les nombres de 0 à p-1, et quand on fait une addition ou une multiplication de ces nombres, on se ramène à 0 ... p-1 en enlevant ou en rajoutant un certains nombre de fois p.
Par exemple, dans F5, 2*3=6 -> 6-5 -> 1. Donc 2*3=1 dans F5, le corps à 5 éléments.
D'ailleurs la notion de corps est pas mal utilisée dans les codes correcteurs, ce qui permet par exemple à ton lecteur dvd de lire un dvd ayant de petites rayures.
