Si tu ne veux vraiment pas passer par Lutris, il faudrait utiliser le dépôt de WineHQ pour avoir Wine 5.x Staging, il y a pas mal de problèmes avec Battle.net qui sont corrigés dans la branche Staging.
Tout d'abord, va là :
https://download.opensuse.org/repositories/Emulators:/Wine:/Debian/xUbuntu_18.04/
Télécharge libfaudio0_19.07-0~bionic_amd64.deb dans amd64 et libfaudio0_19.07-0~bionic_i386.deb dans i386. Installe ces deux paquets deb dans cet ordre.
Une fois que c'est fait, supprime Wine :
sudo apt-get remove --purge fonts-wine libwine-development libwine-development:i386 wine-development wine32-development:i386 wine64-development
Ça va vraisemblablement supprimer PlayOnLinux au passage mais ce n'est pas grave, tu pourras le réinstaller après.
Ensuite, ajoute le dépôt de WineHQ à tes sources et installe Wine Staging :
sudo add-apt-repository 'deb https://dl.winehq.org/wine-builds/ubuntu/ bionic main'
sudo apt-get update
sudo apt install --install-recommends winehq-staging
Une fois que c'est fait, tu peux réinstaller POL s'il avait été désinstallé :
sudo apt-get install playonlinux
Réessaie Battle.net, il devrait logiquement fonctionner à nouveau.